Orthogonality는 함수를 벡터처럼 다룰 수 있다는 것에서 부터 출발한다.
구간 $[a, b]$에서 두 함수의 Inner Product은 다음과 같이 정의된다.
$$ (f_1, f_2) = \int_a^b f_1(x)f_2^*(x)dx $$
Inner Product의 정의로부터 Orthogonal Function의 정의를 얻을 수 있다. 두 함수의 Inner Product의 값이 0일때 두 함수는 Orhogonal하다고 할 수 있다.
$$ (f_1, f_2) = \int_a^b f_1(x)f_2^*(x)dx = 0 $$
구간 $[a, b]$에 다음을 만족한다면 실수 함수 $\{\}$의 집합은 직교 집합(Orthogonal Set)이다.
$$ (\phi_m, \phi_n) = \int_a^b\phi_m(x)\phi_n^*(x)dx = 0, \quad\text{for }\, m\ne n $$
여기서 $\phi_n, n=0, 1, 2\dots$를 기저함수(basis funtion)라고 부른다.
Orthogonal Set은 왜 중요한 것일까? 그것은 구간 $[a, b]$에서 정의된 함수 $y = f(x)$는 같은 구간 $[a, b]$에서 정의된 기저 함수와 상수 $c_n, n = 0, 1, 2\dots$를 이용하여 선형적으로 분해할 수 있기 때문이다. 즉.
$$ f(x) = c_0\phi_0(x) + c_1\phi_1(x) + \dots + c_n\phi_n(x) + \dots\\ or\\ f(x) = \sum_{n=0}^\infin c_n\phi_n(x) $$
와 같이 선형적으로 분해할 수 있다.
하나의 함수를 orthogonal set의 함수를 이용해 급수로 표현될 수 있다는 것은 어떻게 생각해야 할까?
함수 역시 벡터로 생각할 수 있으며 선형대수학에서 백터의 공리(axioms)가 성립해야 한다.
$x(t) = x(t+T)$를 만족하는 어떠한 신호 $x(t)$도 다음과ㅏ 같이 쓸 수 있다.
$$ \large x(t) = \sum_{k=-\infin}^\infin a_k\exp\left(j\frac{2\pi k}{T}t\right)\\a_k = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\exp\left(-j\frac{2\pi k}{T}t\right) $$