CTFT의 아이디어는 주기함수의 주기 $T$를 무한정 크게 늘리는 것이다. 이렇게 하면 어떠한 비주기함수도 Sinusoidal Function을 통해 Decompose할 수 있다.
주기가 $T$인 주기함수는 다음과 같이 나타낼 수 있었다.
$$ \large x(t) = \sum_{k=-\infin}^\infin a_k\exp\left(j\frac{2\pi k}{T}t\right)\\a_k = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\exp\left(-j\frac{2\pi k}{T}t\right)dt $$
CTFS에서 CTFT로 넘어가는 과정에서 필요한 것은 $T\rightarrow\infin$ 이다.
$$ \lim_{T\rightarrow\infin}x(t) = \lim_{T\rightarrow\infin}\sum_{k=-\infin}^\infin \left[\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\exp\left(-j\frac{2\pi k}{T}t\right)\right]\exp\left(j\frac{2\pi k}{T}t\right) $$
정적분에 의해 몇 가지 기호가 아래처럼 대체된다.
대괄호 내부를 계산하면
$$ \lim_{T\rarr\infin}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\exp\left(j\frac{2\pi k}{T}t\right)dt =\int_{-\infin}^{\infin}x(t)\exp(-j2\pi ft)dt $$
이고, 이 결과는 $x(t)$를 푸리에 변환한 결과로 볼 수 있다. 따라서.
$$ X(f)=\int_{-\infin}^\infin x(t)\exp(-j2\pi ft) dt $$
이다. 이를 다시 대입하면
$$ \lim_{T\rightarrow\infin}x(t) = \lim_{T\rightarrow\infin}\sum_{k=-\infin}^\infin \left[\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\exp\left(j\frac{2\pi k}{T}t\right)\right]\exp\left(j\frac{2\pi k}{T}t\right)\frac{1}{T}\\ = \sum_{k=-\infin}^\infin\lim_{T\rarr\infin}X(f)\exp\left(j\frac{2\pi k}{T}t\right)\frac{1}{T}\\ = \int_{-\infin}^{\infin}X(f)\exp\left(j2\pi ft\right)df
$$