이산시간 푸리에 급수(Discrete Time Fourier Series)

Discrete Time Domain에서 함수의 Orthogonality

아래 집합의 Orthogonality가 증명될 수 있다.

$$ \left\{ \phi_k[n]\mid\phi_k[n] = \exp\left( j\frac{2\pi k}{N}n\right)\quad\text{where }k = 0, 1, 2\dots, N-1 \right\} $$

DTFS

주기가 $N$인 이산신호 $x[n]$에 대하여

$$ x[n]= x[n+N]\\\,\\

x[n] = \sum_{k=0}^{N-1}a_k\exp\left( j\frac{2\pi k}{N}n\right)\\\,\\ \text{where}\\\,\\ a_{k}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \exp \left(-j \frac{2 \pi k}{N} n\right) \text { for } k=0,1, \cdots, N-1 $$