PMF of a Function of Two Discrete Random Variable

랜덤변수 $W = g(X, Y)$에 대하여 PMF는 다음과 같다.

$$ P_W(w) = \sum_{(x, y):g(x, y) = w}P_{X, Y}(x, y) $$

Functions Yielding Continous Random Variables

Theorem : W = aX

$W = aX$라고 할 때 CDF, PDF는 아래와 같다.

$$ F_W(w) = F_X\left( \frac{w}{a}\right),\quad f_W(w) = \frac{1}{a}f_X\left(\frac{w}{a}\right) $$

대표적인 랜덤변수들의 경우

$$ \def \t{\text} \def \f#1#2{#1&&\rarr&&#2}

\begin{matrix} \f{\t{uniform}(b, c)}{\t{uniform}(ab, ac)}\\\\ \f{\t{exponential}(\lambda)}{\t{exponential}(\lambda /a)}\\\\ \f{\t{Erlang}(n, \lambda)}{\t{Erlang}(n, \lambda/a)}\\\\ \f{\t{Gaussian}(\mu, \sigma)}{\t{Gaussian}(a\mu, a\sigma)}

\end{matrix} $$

Theorem : W = X + b

$W = X +b$라고 할 떄 CDF, PDF는 아래와 같다.

$$ F_W(w) = F_X(w-b),\quad f_W(w) = f_X(w-b) $$

⭐ uniform분포를 바탕으로 원하는 CDF를 갖는 X를 만들때

$\text{uniform}(0, 1)$을 따르는 $u$에 대하여

$$ \large u\to\Large{\boxed{X = F^{-1}(u)}}\normalsize\to X\\\Updownarrow \\ u = F(X) $$

위와 같이 구하고자 하는 CDF의 역함수를 이용하면 $X$를 얻을 수 있다.

Continuous Functions of Two Continuous Random Variables

W = g(X, Y)