https://www.youtube.com/watch?v=FxYvAntb68s
$n\times n$행렬 $A$에 대하여
$$ A\bold{x} = \lambda\bold{x} $$
의 nontrivial solution이 되는 (nonzero)벡터 $\bold{x}$와 스칼라$\lambda$가 있을 때, $\bold{x}$를 Eigenvector(고유벡터), $\lambda$를 **Eigenvalue(고유값)**이라고 한다.
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $$
위 행렬의 eigenvector, eigenvalue를 구해보자.
$$ A\bold{x} = \lambda\bold{x}\\ (A - \lambda I)\bold{x} = \bold{0}\\ \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} $$
여기서 알 수 있듯이 위는 자명해$\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$를 갖는 "동차연립선형방정식"이다.
Eigenvector를 갖기 위해서는 nontrivial solution이 존재해야한다. 만약 위 방정식이 오직 자명해 만을 갖는 다면 $A - \lambda I$는 invertible이다. 따라서 고유벡터를 갖기 위해서는 $A - \lambda I$가 noninvertible이어야 한다.
$A - \lambda I$의 determinant를 구해서 0이 되도록 만들자.
$$ \det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6\\=\lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0\\ \therefore \lambda = \frac{5\pm\sqrt{33}}{2} $$
이로서 eigenvalue $\lambda = \frac{5\pm\sqrt{33}}{2}$를 얻을 수 있다. 고유값을 위 선형방정식에 대입하여 얻은 $\bold{x}$가 고유벡터이다.
앞서 Eigenvalue, Eigenvector를 구할 때 사용한 $(A - \lambda I)\bold{x} = \bold{0}$에서 역행렬이 존재하지 않게 하기 위해 determinant를 0으로 둔 $\lambda$에 대한 방정식을 구했었다. 여기서 $\det(A - \lambda I) = 0$ 을 특성방정식 이라고 한다.