Inverse Matrix

어떤 $n\times n$크기의 행렬 $A$ 에 대하여

$$ \begin{matrix} CA = I & \text{and} & AC = I \end{matrix} $$

를 만족하는 행렬 $C$가 존재한다면 $A$는 invertible이다. 여기서 행렬 $C$를 $A^{-1}$로 쓸 수 있으며 $A^{-1}$은 $A$의 inverse이다.

$$ \begin{matrix} A^{-1}A = I & \text{and} & AA^{-1} = I \end{matrix} $$

역행렬을 만들 수 없는 행렬 즉, not invertible인 행렬을 singular matrix라고 부른다. 반대로 invertible인 행렬을 nonsingular matrix라고 부른다.

2x2 Matrix의 Inverse

$2\times 2$행렬은 비교적 역행렬을 쉽게 구할 수 있다.

$A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$라고 할 때. $ad-bd \neq0$ 이면 $A$는 invertible이고

$$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c &a\end{bmatrix} $$

이다.

여기서 $ad-bc$를 $A$의 **determinant(행렬식)**이라고 한다.

2x2 Matrix의 Determinant

$2\times 2$행렬의 Determinant는 간단하게 구할 수 있다.

$$ \det A = ad-bc $$

선형연립방정식 Ax = b 의 해를 구할 때 적용시키기

$n\times n$행렬 $A$가 invertible일 때, 선형연립방정식 $A\bold{x} = \bold{b}$의 Solution vector $\bold{x}$를 아래와 같이 구할 수 있다.

$$ \bold{x} = A^{-1}\bold{b} $$

(Example)