행렬의 곱은 Not Commutative이다. 즉 일반적으로 $AB \neq BA$이다.
행렬의 곱은 교환법칙과 분배법칙을 만족한다.
$$ (kA)B = k(AB) = A(kB)\\ A(BC) = (AB)C\\ (A+B)C = AC+BC\\ C(A+B) = CA + CB $$
$$ (A^T)^T = A\\ (A+B)^T = A^T+B^T\\ (cA)^T = cA^T\\ (AB)^T = B^TA^T $$
행렬 $A$가 대칭행렬(symmetric matrix)이라면 $A^T = A$이다.
$$ S = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}
$$
행렬의 주대각선 상에서만 0이 아닌 성분을 가진 정방 행렬(square matrix)를 대각행렬(diagonal matrix)라고 한다.
$$ S = \begin{bmatrix} c & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} $$
대각행렬에서 주대각성분이 모두 $c$로 같을 경우 스칼라행렬(scalar matrix)라고 한다. 스칼라행렬을 같은 크기의 어떤 행렬과 곱했을 때 스칼라를 곱한 것과 같게 된다.
행렬 $S$가 주대각 성분이 $c$로 같은 스칼라 행렬이고 행렬 $A$와 $S$의 크기가 같을 경우 아래를 만족한다.
$$
\\AS = SA = cA $$