랜덤변수 $X$를 알고 싶지만 실제로 관측가능한 값이 $Y$, 잡음이 $Z$일때

$$ Y = X + Z $$

여기서 세 개의 랜덤변수 $X, Y, Z$가 등장한다. 그리고 $X, Z$는 서로 독립이다.

Joint Cumulative Distribution

랜덤변수 $X, Y$의 결합 누적분포함수는 아래와 같다.

$$

F_{X, Y}(x, y)=\mathrm{P}[X \leq x, Y \leq y] $$

Joint CDF로 Marginal CDF를 구하기

• $F_X(x) = F_{X, Y}(x, \infin)$
• $F_Y(y) = F_{X, Y}(\infin, y)$

Joint Probability Mass Function

랜덤변수$X, Y$의 PMF는 아래와 같다

$$

P_{X, Y}(x, y)=\mathrm{P}[X=x, Y=y] $$

Marginal PMF

Joint PMF로 부터 Marginal PMF를 얻는 방법이다.

$$ P_X(x) = \sum_{y\in S_Y}P_{X, Y}(x, y)\quad P_Y(y) = \sum_{x\in S_X}P_{X, Y}(x, y) $$

Joint Probability Density Function

연속 랜덤변수 $X, Y$의 Joint CDF는 아래와 같다.

$$ f_{X, Y}(x, y) = \int_{-\infin}^{x}\int_{-\infin}^{y}f_{X, Y}(u, v)\,dv\,du $$