Inner Product : 내적

$$ \bold{u} = \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\\vdots\\ u_n \end{bmatrix}, \bold{v} = \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\\vdots\\ v_n \end{bmatrix} $$

두 벡터에 대하여 다음의 연산을 **Inner Product(or Dot Product)**라고 한다.

$$ \bold{u}\cdot\bold{v} = \begin{bmatrix} u_1&u_2&\dots& u_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\\vdots\\ v_n \end{bmatrix}= u_1v_1 + u_2v_2 + \dots u_nv_n $$

Theorem

Inner Product는 아래의 정리를 만족한다.

• $\bold{u}\cdot\bold{v} = \bold{v}\cdot\bold{u}$
• $(\bold{u} + \bold{v})\cdot\bold{w} = \bold{u}\cdot\bold{w} + \bold{v}\cdot \bold{w}$
• $(c\bold{u})\cdot \bold{v} = c(\bold{u} \cdot \bold{v}) = \bold{u}\cdot(c\bold{v})$
• $\bold{u}\cdot\bold{u}\ge0, \text{ and }\bold{u}\cdot\bold{u} = 0 \text{ if and only if }\bold{u} = \bold{0}$

Norm (Length)

어떤 벡터 $\bold{v}$의 length ( or norm ) $||\bold{v}||$는 음이 아닌 스칼라로서 아래와 같이 정의된다.

$$ ||\bold{v}|| = \sqrt{\bold{v}\cdot\bold{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots +v_n^2}\\\\\,\\ ||\bold{v}||^2 = \bold{v}\cdot\bold{v} $$

Distance

두 벡터의 distance는 아래와 같이 정의한다.

$$ \text{dist}(\bold{u}, \bold{v}) = ||\bold{u}-\bold{v}|| $$

Orthogonal Vectors

어떤 두 벡터가 $\bold{u}\cdot\bold{v} =0$ 일때 서로 orthogonal이라고 한다.