선형엽립방정식의 해를 구해보자.
$n$개의 미지수 $x_1, x_2, \dots, x_n$을 갖는 $m$개의 선형연립방정식은 다음의 형태를 갖는다.
$$ a_{11}x_1 + \dots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ a_{31}x_1 + \dots + a_{3n}x_n = b_1\\\dots\\ a_{m1}x_1 + \dots + a_{mn}x_n = b_m\\ $$
직선과 일차방정식의 관계에서와 같이 윗 식이 각 변수 $x_j$에 대하여 일차식으로 나타내기에, 이 연립방정식을 선형이라고 부른다.
만일 $b_j$가 모두 0이면 위 식은 homogeneous system이라 하고, 적어도 하나가 0이 아니면 nonhomogenous system이라고 한다.
위 연립방정식의 해는 $m$개의 방정식을 모두 만족시키는 수 $x_1, x_2, \dots, x_n$의 집합을 말한다. 따라서 위 식의 solution vector란 그 성분이 연립방정식의 해가 되는 벡터 $\bold{x}$를 말한다.
만약 위 연립방정식이 homogeneous system이라면 최소한 **trivial solution(자명한 해)**인 $x_1 = 0,\dots, x_n = 0$을 갖는다. 이를 기하학적으로 해석한다면 각 방정식이 모두 원점을 지나는 것이다. 따라서 모든 해가 0인 자명해가 반드시 존재한다.
위 연립방정식의 $m$개의 방정식을 단 하나의 벡터방정식으로 표현할 수 있다.
$$ A\bold{x} = \bold{b} $$
$$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}& \dots &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22}& \dots& a_{2n} \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}
$$
$$ \bold{x} = \begin{bmatrix}x_1\\.\\.\\x_n\end{bmatrix},\,
\bold{b} = \begin{bmatrix}b_1\\.\\.\\b_n\end{bmatrix} $$
여기서 $A$는 계수행렬이다.
위를 통해 연립방정식과 동일한 취급을 하는 첨가행렬을 만들 수 있다.
$$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}& \dots &a_{1n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22}& \dots& a_{2n} &b_2\\
\dots & \dots & \dots & \dots &\dots\\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m
\end{bmatrix}
$$
Gauss소거법은 첨가행렬을 간단한 Reduced Echelon Form으로 만드는 과정이다. 아래의 행연산을 이용하여 Row echelon form형태로 만들어야 한다.