성분의 수가 같은 $m$개의 벡터 $\bold{a}_1, \bold{a}_2, \dots, \bold{a}_m$과 임의의 스칼라 $c_1, c_2, \dots, c_m$에 대하여
$$ c_1\bold{a}_1 + c_2\bold{a}_2+ c_3\bold{a}_3+\dots+c_m\bold{a}_m $$
와 같이 현했을 때 **Linear Combination(1차 결합)**이라고 한다.
$$ c_1\bold{a}_1 + c_2\bold{a}_2+ c_3\bold{a}_3+\dots+c_m\bold{a}_m =\vec{0} $$
위의 식은 모든 $c_j$에 대하여 값이 0일 경우 성립한다. 만약 이 식을 만족하는 유일한 스카라라면 위의 벡터 $\bold{a}_1, \bold{a}_2, \dots, \bold{a}_m$이 **Linearly Independent(1차 독립)**이다. 만약 다른 스칼라조합이 존재한다면 Linearly Dependent(1차 종속)이다.
$$ \bold{a}_1 = \begin{bmatrix}3 & 0 & 2 &2\end{bmatrix}\\
\bold{a}_3 = \begin{bmatrix}-6 & 42 & 24 &54\end{bmatrix}\\
\bold{a}_3 = \begin{bmatrix}21 & -21 & 0 & - 15\end{bmatrix} $$
위 벡터들은 Linearly Dependent이다.
$$ 6\bold{a}_1 - \frac{1}{2}\bold{a}_2 - \bold{a}_3 = 0 $$
위와 같이 식을 만족하는 다른 스칼라 조합이 있기 때문이다.
Rank(행렬의 계수)의 정의와 정리들을 알아보자.
행렬 $A$에서 Linearly Independent인 Column Vector의 최대 수를 $A$의 Rank(계수)라고 하며, $\text{rank}\,A$로 나타낸다.